Ortogonal va ortonormal
Matematikada ortogonal va ortonormal ikki soʻz vektorlar toʻplami bilan birga tez-tez ishlatiladi. Bu erda "vektor" atamasi vektor fazosining elementi - chiziqli algebrada ishlatiladigan algebraik tuzilma degan ma'noda ishlatiladi. Muhokama qilish uchun biz ichki mahsulot fazosini - V vektor fazosini V va V da aniqlangan ichki mahsulot bilan ko'rib chiqamiz.
Masalan, ichki mahsulot uchun boʻshliq odatiy nuqta mahsuloti bilan birga barcha 3 oʻlchovli joylashuv vektorlari toʻplamidir.
Ortogonal nima?
V ichki hosila fazosining bo’sh bo’lmagan S kichik to’plami ortogonal deyiladi, agar S dagi har bir alohida u, v uchun [u, v]=0 bo’lsa; ya'ni u va v ning ichki mahsuloti ichki hosila fazosidagi nol skayarga teng.
Masalan, barcha 3 oʻlchovli pozitsiya vektorlari toʻplamida bu S, p va q pozitsiya vektorlarining har bir alohida juftligi uchun p va q bir-biriga perpendikulyar ekanligini aytishga teng. (Ushbu vektor fazodagi ichki mahsulot nuqta hosilasi ekanligini unutmang. Bundan tashqari, ikkita vektorning nuqta mahsuloti 0 ga teng bo'ladi, agar ikkala vektor bir-biriga perpendikulyar bo'lsa.)
S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)} toʻplamini koʻrib chiqaylik, bu 3 oʻlchovli pozitsiya vektorlarining kichik toʻplamidir. E'tibor bering (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0)., 5)=0. Demak, S to‘plam ortogonaldir. Xususan, ikkita vektorning ichki mahsuloti 0 bo'lsa, ortogonal deyiladi. Shuning uchun Sis ortogonalidagi har bir vektor jufti.
Ortonormal nima?
V ichki mahsulot fazosining bo’sh bo’lmagan S kichik to’plami, agar S ortogonal bo’lsa va S dagi har bir u vektor uchun [u, u]=1 bo’lsa, ortonormal deyiladi. Demak, shuni ko’rish mumkinki, har bir ortonormal to'plam ortogonaldir, lekin aksincha emas.
Masalan, barcha 3 oʻlchovli pozitsiya vektorlari toʻplamida bu S va p va q pozitsiya vektorlarining har bir alohida juftligi uchun, p va q bir-biriga perpendikulyar va har bir p S, |p|=1. Buning sababi, [p, p]=1 sharti p.p=|p||p|cos0=|p|2=1 ga kamayadi, bu esa |p ga ekvivalentdir. |=1. Shuning uchun ortogonal toʻplam berilgan boʻlsa, har bir vektorni uning kattaligiga boʻlish orqali har doim mos ortonormal toʻplam hosil qilishimiz mumkin.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} barcha 3 oʻlchovli pozitsiya vektorlari toʻplamining ortonormal kichik toʻplamidir. Bu S to‘plamdagi vektorlarning har birini ularning kattaliklariga bo‘lish orqali olinganligini ko‘rish oson.
Ortogonal va ortonormal oʻrtasidagi farq nima?
- V ichki hosila fazosining bo’sh bo’lmagan S kichik to’plami ortogonal deyiladi, agar S dagi har bir alohida u, v uchun [u, v]=0 bo’lsa. Ammo, agar va faqat qo'shimcha shart - S dagi har bir u vektor uchun [u, u]=1 bajarilsa.
- Har qanday ortonormal toʻplam ortogonal, lekin aksincha emas.
- Har qanday ortogonal to'plam noyob ortonormal to'plamga mos keladi, lekin ortonormal to'plam ko'p ortogonal to'plamlarga mos kelishi mumkin.
