Ehtimolliklarni taqsimlash funksiyasi va ehtimollik zichligi funksiyasi
Ehtimollik - voqea sodir bo'lish ehtimoli. Bu g'oya juda keng tarqalgan va biz o'z imkoniyatlarimizni, tranzaksiyalarni va boshqa ko'plab narsalarni baholaganimizda kundalik hayotda tez-tez qo'llaniladi. Ushbu oddiy kontseptsiyani kengroq tadbirlar to'plamiga kengaytirish biroz qiyinroq. Misol uchun, biz lotereyada yutish imkoniyatini osonlikcha aniqlay olmaymiz, lekin uloqtirilgan zarda oltitadan bittasi oltinchi raqamga ega bo'lish ehtimoli borligini aytish qulay va intuitivdir.
Agar sodir boʻlishi mumkin boʻlgan hodisalar soni ortib borayotgan boʻlsa yoki individual imkoniyatlar soni koʻp boʻlsa, ehtimollik haqidagi bu oddiy gʻoya barbod boʻladi. Shuning uchun murakkabligi yuqori bo‘lgan masalalarga yondashishdan oldin unga aniq matematik ta’rif berish kerak.
Yagona vaziyatda sodir boʻlishi mumkin boʻlgan hodisalar soni koʻp boʻlsa, har bir hodisani zar otilishi misolidagi kabi alohida koʻrib chiqish mumkin emas. Demak, tasodifiy miqdor tushunchasini kiritish orqali hodisalarning butun majmuasi umumlashtiriladi. Bu o'zgaruvchi bo'lib, u muayyan vaziyatda (yoki namunaviy maydonda) turli hodisalarning qiymatlarini qabul qilishi mumkin. Vaziyatdagi oddiy hodisalarga matematik ma'no beradi va hodisani hal qilishning matematik usuli. Aniqrog'i, tasodifiy o'zgaruvchi - bu tanlov fazosining elementlari ustidagi haqiqiy qiymat funksiyasi. Tasodifiy o'zgaruvchilar diskret yoki doimiy bo'lishi mumkin. Ular odatda ingliz alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi.
Ehtimollik taqsimoti funksiyasi (yoki oddiygina, ehtimollik taqsimoti) har bir hodisa uchun ehtimollik qiymatlarini tayinlaydigan funksiya; ya'ni tasodifiy o'zgaruvchi qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlar uchun ehtimolliklarga munosabatni ta'minlaydi. Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ehtimollik taqsimoti funksiyasi aniqlanadi.
Ehtimollik zichligi funksiyasi uzluksiz tasodifiy oʻzgaruvchilar uchun ehtimollik taqsimot funksiyasining ekvivalenti boʻlib, maʼlum bir tasodifiy oʻzgaruvchining maʼlum qiymatni qabul qilish ehtimolini beradi.
Agar X diskret tasodifiy miqdor bo’lsa, X diapazonidagi har bir x uchun f (x)=P (X=x) ko’rinishida berilgan funksiya ehtimollik taqsimoti funksiyasi deyiladi. Funksiya quyidagi shartlarga javob bersagina ehtimollik taqsimoti funksiyasi sifatida xizmat qilishi mumkin.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Haqiqiy sonlar toʻplamida aniqlangan f (x) funksiyasi doimiy X tasodifiy oʻzgaruvchining ehtimollik zichligi funksiyasi deyiladi, agar va faqat, agar
P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx har qanday haqiqiy a va b konstantalari uchun.
Ehtimollik zichligi funksiyasi quyidagi shartlarga ham javob berishi kerak.
1. f (x) ≥ 0 barcha x uchun: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Ehtimollik taqsimoti funksiyasi ham, ehtimollik zichligi funksiyasi ham ehtimolliklarning namuna maydoni boʻylab taqsimlanishini ifodalash uchun ishlatiladi. Odatda, bular ehtimollik taqsimoti deb ataladi.
Statistik modellashtirish uchun standart ehtimollik zichligi funksiyalari va ehtimollik taqsimoti funksiyalari olinadi. Oddiy taqsimot va standart normal taqsimot uzluksiz ehtimollik taqsimotiga misoldir. Binom taqsimoti va Puasson taqsimoti diskret ehtimollik taqsimotiga misoldir.
Ehtimollik taqsimoti va ehtimollik zichligi funksiyasi oʻrtasidagi farq nima?
• Ehtimollar taqsimoti funksiyasi va ehtimollik zichligi funksiyasi har bir elementga tegishli ehtimollik qiymatini belgilash uchun namuna maydonida aniqlangan funksiyalardir.
• Diskret tasodifiy oʻzgaruvchilar uchun ehtimollik taqsimoti funksiyalari, uzluksiz tasodifiy oʻzgaruvchilar uchun esa ehtimollik zichligi funksiyalari aniqlanadi.
• Ehtimollik qiymatlarining taqsimoti (ya'ni, ehtimollik taqsimoti) ehtimollik zichligi funksiyasi va ehtimollik taqsimoti funksiyasi orqali eng yaxshi tasvirlangan.
• Ehtimollar taqsimoti funksiyasi jadvalda qiymatlar sifatida koʻrsatilishi mumkin, lekin bu ehtimollik zichligi funksiyasi uchun mumkin emas, chunki oʻzgaruvchi uzluksiz.
• Grafik tuzilganda, ehtimollik taqsimoti funksiyasi chiziqli chiziqni, ehtimollik zichligi funksiyasi esa egri chiziqni beradi.
• Ehtimollar taqsimoti funksiyasi satrlarining balandligi/uzunligi 1 ga, ehtimollik zichligi funksiyasi egri chizigʻi ostidagi maydon esa 1 ga qoʻshilishi kerak.
• Ikkala holatda ham funksiyaning barcha qiymatlari manfiy boʻlmasligi kerak.
