Assotsiativ va kommutativ
Kundalik hayotimizda biror narsani oʻlchashimiz kerak boʻlganda raqamlardan foydalanishimiz kerak. Oziq-ovqat do'konida, yoqilg'i quyish shoxobchasida va hatto oshxonada biz ikki yoki undan ortiq miqdorni qo'shishimiz, ayirishimiz va ko'paytirishimiz kerak. Bizning amaliyotimizdan biz bu hisob-kitoblarni juda oson bajaramiz. Biz bu operatsiyalarni nima uchun aynan shu tarzda amalga oshirayotganimizni hech qachon sezmaymiz yoki savol bermaymiz. Yoki nima uchun bu hisob-kitoblarni boshqacha tarzda amalga oshirish mumkin emas. Javob bu amallar algebraning matematik sohasida qanday aniqlanganida yashiringan.
Algebrada ikkita kattalik ishtirokidagi amal (masalan, qoʻshish) ikkilik amal sifatida aniqlanadi. Aniqrog'i, bu to'plamning ikkita elementi o'rtasidagi operatsiya va bu elementlar "operand" deb ataladi. Matematikadagi koʻplab operatsiyalar, shu jumladan yuqorida aytib oʻtilgan arifmetik amallar va toʻplamlar nazariyasi, chiziqli algebra va matematik mantiqda uchraydigan amallar ikkilik amallar sifatida belgilanishi mumkin.
Muayyan ikkilik operatsiyaga tegishli boshqaruv qoidalari toʻplami mavjud. Assotsiativ va kommutativ xususiyatlar ikkilik operatsiyalarning ikkita asosiy xususiyatidir.
Komutativ mulk haqida batafsil
A va B elementlarida ⊗ belgisi bilan belgilangan qandaydir ikkilik amal bajarildi deylik. Agar operandlarning tartibi operatsiya natijasiga ta'sir qilmasa, u holda operatsiya kommutativ deyiladi. ya'ni agar A ⊗ B=B ⊗ A bo'lsa, operatsiya kommutativdir.
Qoʻshish va koʻpaytirish arifmetik amallari kommutativdir. Birga qo'shilgan yoki ko'paytirilgan raqamlarning tartibi yakuniy javobga ta'sir qilmaydi:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Ammo boʻlinishda tartib oʻzgarishi ikkinchisining oʻzaro munosabatini beradi, ayirishda esa oʻzgarish boshqasining salbiyligini beradi. Shuning uchun, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 va 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 va 5 ÷ 4=1,25 [bu holda A, B ≠ 1 va 0]
Aslida ayirish anti-kommutativ deyiladi; bu yerda A – B=– (B – A).
Shuningdek, mantiqiy bog’lovchilar, konyunksiya, ayirma, implikatsiya va ekvivalentlik ham almashtiruvchidir. Haqiqat funksiyalari ham kommutativdir. O'rnatilgan operatsiyalar birlashmasi va kesishmasi kommutativdir. Qo‘shish va vektorlarning skalyar ko‘paytmasi ham kommutativdir.
Lekin vektorni ayirish va vektor mahsuloti kommutativ emas (ikki vektorning vektor mahsuloti anti-kommutativ). Matritsani qo‘shish kommutativ, lekin ko‘paytirish va ayirish kommutativ emas.(Ikki matritsani koʻpaytirish maxsus holatlarda kommutativ boʻlishi mumkin, masalan, matritsani uning teskarisi yoki oʻziga xoslik matritsasi bilan koʻpaytirish; lekin agar matritsalar bir xil oʻlchamda boʻlmasa, albatta matritsalar kommutativ boʻlmaydi)
Assotsiativ mulk haqida batafsil
Agar bajarilish tartibi operatorning ikki yoki undan ortiq takrorlanishlari mavjud boʻlgan natijaga taʼsir qilmasa, ikkilik operatsiya assotsiativ deyiladi. A, B va C elementlarini va ikkilik operatsiyani ko'rib chiqing ⊗. Agar boʻlsa, ⊗ operatsiyasi assotsiativ deb aytiladi.
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Asosiy arifmetik funktsiyalardan faqat qoʻshish va koʻpaytirish assotsiativ hisoblanadi.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Aytish va boʻlish assotsiativ emas;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 va (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 va (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Mantiqiy bog’lovchilar disjunksiya, konyunksiya va ekvivalentlik assotsiativdir, shuningdek, to’plam amallari birlashmasi va kesishishi ham. Matritsa va vektor qo'shilishi assotsiativdir. Vektorlarning skalyar ko'paytmasi assotsiativ, vektor mahsuloti esa assotsiativ emas. Matritsalarni ko'paytirish faqat maxsus holatlarda assotsiativ bo'ladi.
Komutativ va assotsiativ mulk o'rtasidagi farq nima?
• Assotsiativ xususiyat ham, kommutativ xususiyat ham ikkilik amallarning maxsus xossalari boʻlib, baʼzilari ularni qanoatlantiradi, baʼzilari esa qoniqtirmaydi.
• Bu xossalarni algebraik amallarning koʻplab shakllarida va matematikadagi boshqa ikkilik operatsiyalarda, masalan, toʻplam nazariyasidagi kesishish va birlashma yoki mantiqiy bogʻlovchilarda koʻrish mumkin.
• Kommutativ va assotsiativ oʻrtasidagi farq shundaki, kommutativ xususiyat elementlarning tartibi yakuniy natijani oʻzgartirmasligini bildiradi, assotsiativ xususiyat esa amalning bajarilish tartibi yakuniy javobga taʼsir qilmasligini bildiradi..
