Kardinal va Ordinal
Kundalik hayotimizda raqamlardan foydalanish turli vaziyatlarda har xil shaklda boʻlishi mumkin. Misol uchun, ob'ektlar to'plamining hajmini aniqlash uchun hisoblaganimizda, biz ularni bir, ikki, uch va hokazo deb hisoblaymiz. Ob'ektlarning o'rnini tushunish uchun biror narsani sanamoqchi bo'lganimizda, biz ularni birinchi, ikkinchi, uchinchi va hokazo deb hisoblaymiz. Sanoqning birinchi shaklida sonlar asosiy sonlar deyiladi. Sanoqning ikkinchi shaklida sonlar tartib sonlar sifatida qaraladi. Shu nuqtai nazardan, kardinal va tartib tushunchalari butunlay tilshunoslik masalasidir; kardinal va ordinal sifatlardir.
Biroq, matematikada tushunchaning toʻplamlarga kengayishi ancha chuqurroq va kengroq istiqbolni ochib beradi va uni oddiy soʻzlar bilan koʻrib chiqish mumkin emas. Ushbu maqolada biz matematikadagi kardinal va tartib sonlarning asosiy tushunchalarini tushunishga harakat qilamiz.
Toʻplam nazariyasida asosiy va tartib sonlarning rasmiy taʼriflari berilgan. Ta'riflar murakkab va ularni mukammal ma'noda tushunish uchun to'plamlar nazariyasi bo'yicha ma'lumot kerak. Shuning uchun biz tushunchalarni evristik tarzda tushunish uchun bir nechta misollarga murojaat qilamiz.
Ikki toʻplamni koʻrib chiqing: {1, 3, 6, 4, 5, 2} va {avtobus, avtomobil, parom, poezd, samolyot, vertolyot}. Har bir to'plam elementlar to'plamini sanab o'tadi va agar biz elementlarning sonini hisoblasak, har birida bir xil miqdordagi elementlar borligi aniq bo'ladi, ya'ni 6. Bu xulosaga kelib, biz bir to'plamning o'lchamini oldik va boshqasi bilan solishtirdik. raqam. Bunday raqam kardinal raqam deb ataladi. Shuning uchun biz asosiy sonni chekli to'plamlar hajmini solishtirish uchun ishlatishimiz mumkin bo'lgan raqam deb aytishimiz mumkin.
Yana birinchi raqamlar to'plamini har bir elementning o'lchamini hisobga olgan holda va ularni solishtirganda o'sish tartibida joylashtirish mumkin. Buyurtma berish jarayonida raqamlar kardinallar sifatida qabul qilinadi. Xuddi shunday, barcha manfiy bo'lmagan butun sonlar to'plamini to'plamda tartiblash mumkin; ya'ni {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Ammo bu holda to'plamning o'lchami cheksiz bo'lib qoladi va uni tartiblar bo'yicha berish mumkin emas. To‘plam o‘lchamini berish uchun qanchalik katta raqam tanlamang, baribir siz tanlagan to‘plamdan tashqarida qolgan va manfiy bo‘lmagan butun sonlar bo‘ladi.
Shuning uchun matematiklar bu cheksiz kardinalni (bu birinchi) a (ibroniy alifbosining birinchi harfi) sifatida yozilgan Aleph-0 sifatida belgilaydilar. Rasmiy ravishda tartib raqami yaxshi tartiblangan to'plamning tartib turidir. Shuning uchun, chekli to'plamlarning tartib raqami kardinal raqamlar bilan berilishi mumkin, lekin cheksiz to'plamlar uchun tartib Aleph-0 kabi transfinit sonlar bilan beriladi.
Kardinal va tartib raqamlar oʻrtasidagi farq nima?
• Asosiy raqam sanash yoki cheklangan tartibli toʻplam hajmini berish uchun ishlatilishi mumkin boʻlgan raqam. Barcha asosiy raqamlar tartibli.
• Tartib sonlar chekli va cheksiz tartiblangan toʻplamlarning oʻlchamini berish uchun ishlatiladigan raqamlardir. Cheklangan tartibli toʻplamlarning oʻlchami odatdagi hind-arab algebraik raqamlari bilan, cheksiz toʻplam oʻlchami esa transfinit sonlar bilan beriladi.
