Chiziqli va nochiziqli differentsial tenglamalar
Kamida bitta differentsial koeffitsient yoki noma'lum o'zgaruvchining hosilasini o'z ichiga olgan tenglama differentsial tenglama deb nomlanadi. Differensial tenglama chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan bo'lishi mumkin. Ushbu maqolaning qamrovi chiziqli differensial tenglama nima, chiziqli bo'lmagan differentsial tenglama nima va chiziqli va chiziqli bo'lmagan differensial tenglamalar o'rtasidagi farq nima ekanligini tushuntirishdan iborat.
XVIII asrda Nyuton va Leybnits kabi matematiklar tomonidan hisob-kitoblar ishlab chiqilganidan beri differensial tenglamalar matematika tarixida muhim rol o'ynadi. Differensial tenglamalar qo‘llanish doirasi tufayli matematikada katta ahamiyatga ega. Differensial tenglamalar fizika, muhandislik, kimyo, statistika, moliyaviy tahlil yoki biologiya bo'ladimi (ro'yxat cheksiz) bo'ladimi, dunyodagi har qanday stsenariy yoki hodisani tushuntirish uchun biz ishlab chiqadigan har bir modelning markazida. Darhaqiqat, hisob-kitoblar tasdiqlangan nazariyaga aylanmaguncha, tabiatdagi qiziqarli muammolarni tahlil qilish uchun tegishli matematik vositalar mavjud emas edi.
Hisoblashning muayyan qoʻllanilishi natijasida hosil boʻlgan tenglamalar juda murakkab va baʼzan echib boʻlmaydigan boʻlishi mumkin. Biroq, biz hal qila oladigan, ammo o'xshash va chalkash ko'rinishi mumkin bo'lganlari bor. Shuning uchun identifikatsiyani osonlashtirish uchun differentsial tenglamalar matematik xatti-harakatlariga ko'ra tasniflanadi. Chiziqli va chiziqli bo'lmaganlar ana shunday tasniflardan biridir. Chiziqli va chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamalar o'rtasidagi farqni aniqlash muhim.
Chiziqli differensial tenglama nima?
Faraz qilaylik, f: X→Y va f(x)=y, noma'lum y funksiya va uning hosilalarining nochiziqli hadlari bo'lmagan differentsial tenglama chiziqli differensial tenglama sifatida tanilgan.
U y2, y3, … kabi yuqori indeksli atamalarga ega boʻlmasligi shartini qoʻyadi.sifatida
Shuningdek, Sin y, e y ^-2 yoki ln y kabi chiziqli boʻlmagan atamalarni ham oʻz ichiga olmaydi. Ushaklini oladi
bu yerda y va g x ning funksiyalari. Tenglama n tartibli differensial tenglama bo‘lib, u eng yuqori tartibli hosilaning indeksidir.
Chiziqli differensial tenglamada differensial operator chiziqli operator, yechimlari esa vektor fazoni tashkil qiladi. Yechimlar to‘plamining chiziqli tabiati natijasida yechimlarning chiziqli birikmasi ham differensial tenglamaning yechimi hisoblanadi. Ya'ni, agar y1 va y2 differensial tenglamaning yechimlari bo'lsa, u holda C1 y 1+ C2 y2 ham yechimdir.
Tenglamaning chiziqliligi tasniflashning faqat bitta parametri boʻlib, uni qoʻshimcha ravishda bir jinsli yoki bir jinsli boʻlmagan va oddiy yoki qisman differensial tenglamalarga boʻlish mumkin. Agar funktsiya g=0 bo'lsa, tenglama chiziqli bir hil differentsial tenglama bo'ladi. Agar f ikki yoki undan ortiq mustaqil oʻzgaruvchilar (f: X, T→Y) va f(x, t)=y funksiyasi boʻlsa, u holda tenglama chiziqli qisman differentsial tenglama boʻladi.
Differensial tenglamani yechish usuli differentsial tenglamaning turi va koeffitsientlariga bog'liq. Eng oson holat koeffitsientlar doimiy bo'lganda paydo bo'ladi. Bu holat uchun klassik misol Nyutonning ikkinchi harakat qonuni va uning turli xil qo'llanilishidir. Nyutonning ikkinchi qonuni doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani hosil qiladi.
Nochiziqli differentsial tenglama nima?
Nochiziqli atamalarni oʻz ichiga olgan tenglamalar chiziqli boʻlmagan differentsial tenglamalar deb nomlanadi.
Yuqoridagi barcha nochiziqli differentsial tenglamalar. Nochiziqli differentsial tenglamalarni echish qiyin, shuning uchun to'g'ri echimni olish uchun chuqur o'rganish kerak. Qisman differensial tenglamalar bo'lsa, ko'pchilik tenglamalar umumiy yechimga ega emas. Shuning uchun har bir tenglama mustaqil ravishda ko'rib chiqilishi kerak.
Navier-Stokes tenglamasi va suyuqliklar dinamikasidagi Eyler tenglamasi, Eynshteynning umumiy nisbiylik sohasi tenglamalari yaxshi ma'lum bo'lmagan chiziqli qisman differentsial tenglamalardir. Ba'zan o'zgaruvchan tizimga Lagrange tenglamasini qo'llash chiziqli bo'lmagan qisman differentsial tenglamalar tizimini keltirib chiqarishi mumkin.
Chiziqli va chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamalar o'rtasidagi farq nima?
• Noma'lum yoki bog'liq o'zgaruvchi va uning hosilalarining faqat chiziqli hadlariga ega bo'lgan differentsial tenglama chiziqli differentsial tenglama deb nomlanadi. Unda indeksning qaram o'zgaruvchisi 1 dan yuqori bo'lgan atama yo'q va uning hosilalari ko'paytirilmaydi. U bog'liq o'zgaruvchiga nisbatan trigonometrik funktsiyalar, ko'rsatkichli funktsiya va logarifmik funktsiyalar kabi chiziqli bo'lmagan funktsiyalarga ega bo'lishi mumkin emas. Yuqorida aytib o'tilgan shartlarni o'z ichiga olgan har qanday differentsial tenglama chiziqli bo'lmagan differentsial tenglama hisoblanadi.
• Chiziqli differensial tenglamalar yechimlari vektor fazoni yaratadi va differentsial operator ham vektor fazoda chiziqli operator hisoblanadi.
• Chiziqli differensial tenglamalar yechimlari nisbatan osonroq va umumiy yechimlar mavjud. Nochiziqli tenglamalar uchun ko'p hollarda umumiy yechim mavjud emas va yechim muammoga xos bo'lishi mumkin. Bu chiziqli tenglamalarga qaraganda yechimni ancha qiyinlashtiradi.
