Riman integrali va Lebeg integrali oʻrtasidagi farq

2024 Muallif: Alex Aldridge | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-17 13:52

Riemann Integral va Lebeg Integrali

Integratsiya hisob-kitoblarning asosiy mavzusi. Kengroq ma'noda integratsiyani farqlanishning teskari jarayoni sifatida ko'rish mumkin. Haqiqiy masalalarni modellashtirishda hosilalar ishtirok etgan ifodalarni yozish oson. Bunday holatda, ma'lum hosila bergan funksiyani topish uchun integratsiya operatsiyasi talab qilinadi.

Boshqa tomondan qaraganda, integratsiya ƒ(x) va dx funksiyalarning mahsulotini jamlovchi jarayon bo’lib, bunda dx ma’lum chegara bo’lishga intiladi. Shuning uchun biz integratsiya belgisini ∫ sifatida ishlatamiz. ∫ belgisi aslida yig'indiga ishora qilish uchun s harfini cho'zish orqali olinadigan narsadir.

Riemann Integrali

y=ƒ(x) funksiyani ko’rib chiqaylik. a va b o'rtasidagi y integrali, bu erda a va b x to'plamga tegishli, _b ∫ ^a ƒ(x) dx shaklida yoziladi.=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Bu a va b orasidagi yagona qiymatli va uzluksiz y=ƒ(x) funksiyaning aniq integrali deyiladi. Bu a va b orasidagi egri chiziq ostidagi maydonni beradi. Bu Riman integrali deb ham ataladi. Riman integrali Bernxard Riman tomonidan yaratilgan. Uzluksiz funktsiyaning Riman integrali Jordan o'lchoviga asoslanadi, shuning uchun u funktsiyaning Riman yig'indilarining chegarasi sifatida ham aniqlanadi. Yopiq oraliqda aniqlangan haqiqiy qiymatli funksiya uchun x₁, x₂, …, x bo’limiga nisbatan funksiyaning Rimann integrali. n _{[a, b] va t}1_{, t}2_{, …, t oraligʻida belgilangan n}, bu erda x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 uchun har bir i e {1, 2, …, n}, Rieman yig‘indisi S_{i=o dan n-1} gacha aniqlanadi ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesg Integrali

Lebesg integralning yana bir turi boʻlib, Riman integraliga qaraganda juda koʻp holatlarni qamrab oladi. Lebeg integrali 1902 yilda Genri Lebesg tomonidan kiritilgan. Lejjeg integratsiyasini Riman integrasiyasining umumlashmasi sifatida ko‘rish mumkin.

Nega boshqa integralni oʻrganishimiz kerak?

Xarakteristik funktsiyani ko'rib chiqamiz ƒ_{A (x)=}{_{0, agar x emas e A}^{1 agar, x e A}A to'plamida. Keyin F (x)=S a_{i sifatida aniqlanadigan xarakteristik funktsiyalarning chekli chiziqli birikmasi. ƒ E} i_{(x) oddiy funksiya deb ataladi, agar E} i _{har bir i uchun o’lchanadigan bo’lsa. F (x) ning E ustidagi Lebeg integrali} E_{∫ ƒ(x)dx bilan belgilanadi. F (x) funksiya Riman integrallanmaydi. Shuning uchun Lebeg integrali Rieman integrali bo‘lib, u integrallashadigan funksiyalarda ba’zi cheklovlarga ega.}

Riman integrali va Lebeg integrali oʻrtasidagi farq nima?

· Lebeg integrali Riman integralining umumlashma shaklidir.

· Lebeg integrali cheksiz sonli uzilishlarga imkon beradi, Riman integrali esa chekli sonli uzilishlarga imkon beradi.