Aniq va noaniq integrallar
Hisob matematikaning muhim boʻlimi boʻlib, differensiallash hisobda hal qiluvchi rol oʻynaydi. Differensiallanishning teskari jarayoni integral deb ataladi va teskari jarayon integral deb nomlanadi yoki oddiy qilib aytganda, differentsiatsiyaning teskarisi integralni beradi. Olingan natijalarga ko'ra integrallar ikki sinfga bo'linadi; aniq va noaniq integrallar.
Noaniq integrallar haqida batafsil
Noaniq integral koʻproq integratsiyaning umumiy shakli boʻlib, uni koʻrib chiqilayotgan funksiyaning anti-hosilasi sifatida talqin qilish mumkin. Faraz qilaylik, F ning differentsiatsiyasi f ni, f ning integrallanishi esa integralni beradi. U ko'pincha F(x)=∫ƒ(x)dx yoki F=∫ƒ dx shaklida yoziladi, bunda F va ƒ ham x ning funksiyasi, F esa differentsial bo'ladi. Yuqoridagi shaklda u Reyman integrali deb ataladi va natijada olingan funktsiya ixtiyoriy doimiyga hamroh bo'ladi. Noaniq integral ko'pincha funksiyalar oilasini hosil qiladi; shuning uchun integral noaniqdir.
Integrallar va integrallash jarayoni differensial tenglamalarni yechishning asosini tashkil qiladi. Biroq, differentsiatsiyadan farqli o'laroq, integratsiya har doim ham aniq va standart rejimga amal qilmaydi; baʼzan yechimni elementar funksiya bilan aniq ifodalab boʻlmaydi. U holda analitik yechim ko‘pincha noaniq integral ko‘rinishida beriladi.
Aniq integrallar haqida batafsil
Aniq integrallar noaniq integrallarning juda qimmatli oʻxshashlari boʻlib, bunda integratsiya jarayoni haqiqatda chekli son hosil qiladi. Uni grafik jihatdan berilgan oraliqda ƒ funksiya egri chizig‘i bilan chegaralangan maydon sifatida aniqlash mumkin. Har doim integratsiya mustaqil o'zgaruvchining berilgan oralig'ida amalga oshirilsa, integratsiya aniq qiymat hosil qiladi, u ko'pincha a∫bƒ(x) sifatida yoziladi. dx yoki a∫b ƒdx.
Noaniq integrallar va aniq integrallar hisoblashning birinchi fundamental teoremasi orqali oʻzaro bogʻlangan va bu aniq integralni noaniq integrallar yordamida hisoblash imkonini beradi. Teoremada ko'rsatilgan a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) bunda F va ƒ ham x ning funksiyasi va F (a, b) oraliqda differensiallanadi. Intervalni hisobga olgan holda, a va b mos ravishda pastki chegara va yuqori chegara sifatida tanilgan.
Faqat real funksiyalar bilan toʻxtash oʻrniga, integratsiya murakkab funksiyalarga kengaytirilishi mumkin va bu integrallar kontur integrallari deb ataladi, bunda ƒ kompleks oʻzgaruvchining funksiyasi.
Aniq va noaniq integrallar oʻrtasidagi farq nima?
Noaniq integrallar funksiyaning anti-hosilini va koʻpincha aniq yechim emas, balki funksiyalar oilasini ifodalaydi. Aniq integrallarda integrasiya chekli sonni beradi.
Noaniq integrallar ixtiyoriy oʻzgaruvchini (shuning uchun funksiyalar turkumi) bogʻlaydi va aniq integrallar ixtiyoriy doimiy emas, balki integrallashning yuqori chegarasi va pastki chegarasiga ega.
Noaniq integral odatda differentsial tenglamaning umumiy yechimini beradi.
