Power seriyasi va Teylor seriyasi o'rtasidagi farq

2024 Muallif: Alex Aldridge | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-17 13:52

Power Series vs Teylor Series

Matematikada haqiqiy ketma-ketlik haqiqiy sonlarning tartiblangan roʻyxatidir. Rasmiy ravishda bu natural sonlar toʻplamidan haqiqiy sonlar toʻplamigacha boʻlgan funksiya. Agar a_n ketma-ketlikning n^th hadi boʻlsa, biz ketma-ketlikni ₁ bilan yoki belgilaymiz., a ₂, …, a_n, …. Masalan, 1, ½, ⅓, …, ^{1 ketma-ketligini ko’rib chiqing.} / _{n, …. Uni {1/n} sifatida belgilash mumkin.}

Ketma-ketliklar yordamida ketma-ketlikni aniqlash mumkin. Seriya ketma-ketlik shartlarining yig'indisidir. Shuning uchun, har bir ketma-ketlik uchun tegishli ketma-ketlik mavjud va aksincha. Agar {a_{n} koʻrib chiqilayotgan ketma-ketlik boʻlsa, u holda bu ketma-ketlikdan hosil boʻlgan qator quyidagicha ifodalanishi mumkin:}

Shunday qilib, yuqoridagi misolda bogʻlangan qator 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Nomlardan koʻrinib turibdiki, quvvat seriyasi seriyalarning maxsus turi boʻlib, u Raqamli tahlil va tegishli matematik modellashtirishda keng qoʻllaniladi. Teylor seriyasi - bu taniqli funksiyalarni ifodalashning muqobil va oson boshqarish usulini ta'minlovchi maxsus quvvat seriyasidir.

Quvvat seriyasi nima?

Kuchli seriyalar koʻrinishdagi qatordir

bu c nuqtada joylashgan ba'zi bir interval uchun konvergent (ehtimol). a_{nkoeffitsientlari haqiqiy yoki kompleks sonlar boʻlishi mumkin va ular x ga bogʻliq emas; ya'ni soxta o'zgaruvchi.}

Masalan, har bir n uchun a_n=1 va c=0 ni oʻrnatish orqali quvvat seriyasi 1+x+x² +…..+ x^{+… olindi. Kuzatish osonki, x e (-1, 1) bo'lganda, bu darajalar qatori 1/(1-x) ga yaqinlashadi.}

Kuchli qator x=c bo'lganda yaqinlashadi. Quvvat qatorlari yaqinlashadigan x ning boshqa qiymatlari har doim c nuqtada joylashgan ochiq interval shaklini oladi. Ya'ni 0≤ R ≤ ∞ shunday qiymat bo'ladiki, har bir x qanoatlantiruvchi |x-c|≤ R uchun quvvat qatori yaqinlashuvchi va har bir x qanoatlantiruvchi |x-c|> R uchun quvvat qatori divergent bo'ladi. Bu qiymat R kuch qatorining yaqinlashish radiusi deb ataladi (R har qanday haqiqiy qiymat yoki musbat cheksizlikni qabul qilishi mumkin).

Quvvat qatorlarini quyidagi qoidalar yordamida qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish va boʻlish mumkin. Ikki quvvat seriyasini ko'rib chiqing:

Keyin,

ya'ni kabi atamalar birga qo'shiladi yoki ayiriladi. Bundan tashqari,identifikatori yordamida ikkita quvvat seriyasini koʻpaytirish va boʻlish mumkin.

Teylor seriyasi nima?

Teylor qatori intervalda cheksiz differensiallanuvchi f (x) funksiya uchun aniqlanadi. Faraz qilaylik, f (x) markazi c nuqtada joylashgan oraliqda differentsiallanadi. Keyintomonidan berilgan quvvat seriyasi

f (x) funksiyaning c atrofida Teylor qator kengayishi deyiladi. (Bu yerda f⁽ⁿ⁾ (c) x=c da n^{thhosilasini bildiradi). Raqamli tahlilda bu cheksiz kengayishdagi chekli sonli atamalar qator asl funktsiyaga yaqinlashuvchi nuqtalarda qiymatlarni hisoblashda ishlatiladi.}

F (x) funksiya (a, b) oraliqda analitik deyiladi, agar har bir x e (a, b) uchun f (x) ning Teylor qatori f (f) funksiyasiga yaqinlashsa. x). Masalan, 1/(1-x) analitik (-1, 1), chunki uning Teylor kengayishi 1+x+x²+….+ x ^{+… shu oraliqdagi funksiyaga yaqinlashadi va e}x ^{hamma joyda analitikdir, chunki e}x ^{ning Teylor qatori e} ga yaqinlashadi. x ^{har bir haqiqiy raqam uchun x.}

Power seriyasi va Teylor seriyasi o'rtasidagi farq nima?

1. Teylor seriyasi faqat ba'zi ochiq intervalda cheksiz differensiallanadigan funksiyalar uchun belgilangan kuch seriyalarining maxsus sinfidir.

2. Teylor seriyasi maxsus shaklni oladi

holbuki, quvvat qatori koʻrinishidagi istalgan qator boʻlishi mumkin