Integratsiya va yig'ish o'rtasidagi farq

2024 Muallif: Alex Aldridge | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-17 13:52

Integratsiya va Summation

O'rta maktab matematikasida integratsiya va yig'ish ko'pincha matematik operatsiyalarda uchraydi. Aftidan ular turli vositalar va turli vaziyatlarda ishlatiladi, lekin ular juda yaqin munosabatlarga ega.

Summation haqida batafsil

Summatsiya raqamlar ketma-ketligini qo'shish operatsiyasi bo'lib, operatsiya ko'pincha yunoncha sigma S bosh harfi bilan belgilanadi. U yig'indini qisqartirish uchun ishlatiladi va ketma-ketlikning yig'indisiga/jamiga teng. Ular ko'pincha ketma-ketlikni ifodalash uchun ishlatiladi, ular asosan yakunlangan cheksiz ketma-ketliklardir. Ular vektorlar, matritsalar yoki polinomlar yig‘indisini ko‘rsatish uchun ham ishlatilishi mumkin.

Toʻplash odatda umumiy atama bilan ifodalanishi mumkin boʻlgan bir qator qiymatlar uchun amalga oshiriladi, masalan, umumiy atamaga ega qator. Yigʻishning boshlangʻich va yakuniy nuqtalari mos ravishda yigʻindining pastki va yuqori chegarasi sifatida tanilgan.

Masalan, a₁, a₂, a₃, a ketma-ketlik yig'indisi ₄, …, a_n - a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n, bu yigʻindi belgisi yordamida ∑ _{sifatida osongina ifodalanishi mumkin i=1} a_{i; i yig'indisi indeksi deb ataladi.}

Ilovaga asoslangan yig'ish uchun ko'plab o'zgarishlar qo'llaniladi. Ba'zi hollarda yuqori chegara va pastki chegara interval yoki diapazon sifatida berilishi mumkin, masalan, ∑_1≤i≤100 a_i va ∑_{i∈[1, 100]} a_i Yoki ∑_{i∈P kabi raqamlar toʻplami sifatida berilishi mumkin} a_{i, bu erda P belgilangan to'plamdir.}

Ba'zi hollarda ikki yoki undan ortiq sigma belgilaridan foydalanish mumkin, lekin ularni quyidagicha umumlashtirish mumkin; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Shuningdek, yigʻindi koʻp algebraik qoidalarga amal qiladi. Oʻrnatilgan amal qoʻshish boʻlgani uchun algebraning koʻpgina umumiy qoidalari yigʻindilarning oʻziga va yigʻindida tasvirlangan alohida atamalarga nisbatan qoʻllanilishi mumkin.

Integratsiya haqida batafsil

Integratsiya farqlashning teskari jarayoni sifatida aniqlanadi. Ammo uning geometrik ko'rinishida uni funktsiya va o'qning egri chizig'i bilan o'ralgan maydon sifatida ham ko'rish mumkin. Shuning uchun maydonni hisoblash diagrammada ko'rsatilganidek, aniq integralning qiymatini beradi.

Rasm manbai:

Aniq integralning qiymati aslida egri chiziq va oʻq ichidagi kichik chiziqlar yigʻindisidir. Har bir chiziqning maydoni ko'rib chiqilayotgan o'qdagi nuqtadagi balandlik × kenglikdir. Kenglik biz tanlay oladigan qiymatdir, deylik ∆x. Balandlik esa ko'rib chiqilayotgan nuqtadagi funksiyaning taxminan qiymati, deylik f (x_{i). Diagrammadan ko'rinib turibdiki, chiziqlar qanchalik kichik bo'lsa, chiziqlar chegaralangan maydonga yaxshiroq joylashadi, shuning uchun qiymat yaqinroq bo'ladi.}

Demak, umuman a va b nuqtalar orasidagi (ya’ni a<b [a, b] oralig’ida) aniq integrali I ≅ f (x_{1) shaklida berilishi mumkin.)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, bu erda n - chiziqlar soni (n=(b-a)/∆x). Hududning bu yig‘indisi yig‘indi belgisi yordamida osongina ifodalanishi mumkin, chunki I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x.∆x kichikroq bo'lganda yaqinlik yaxshiroq bo'lgani uchun, biz ∆x→0 bo'lganda qiymatni hisoblashimiz mumkin. Shuning uchun I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Yuqoridagi kontseptsiyani umumlashtirish sifatida biz i tomonidan indekslangan ko'rib chiqilgan interval asosida ∆x ni tanlashimiz mumkin (joylashuvga qarab maydonning kengligini tanlash). Keyin bizolamiz

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Bu f (x) funksiyaning [a, b] oraliqdagi Reyman integrali deb nomlanadi. Bu holda a va b integralning yuqori chegarasi va pastki chegarasi sifatida tanilgan. Reyman integrali barcha integratsiya usullarining asosiy shaklidir.

Mohiyatan, integratsiya toʻrtburchakning kengligi cheksiz kichik boʻlganda maydonning yigʻindisidir.

Integratsiya va Summatsiya oʻrtasidagi farq nima?

• Yigʻinish - bu raqamlar ketma-ketligini yigʻish. Odatda, yig'indi quyidagi shaklda beriladi ∑_i=1 a_{i namunaga ega va umumiy atama yordamida ifodalanishi mumkin.}

• Integratsiya asosan funksiyaning egri chizig'i, o'qi va yuqori va pastki chegaralari bilan chegaralangan maydondir. Bu hudud chegaralangan hududga kiritilgan ancha kichikroq maydonlar yig‘indisi sifatida berilishi mumkin.

• Yigʻish yuqori va pastki chegaralar bilan diskret qiymatlarni oʻz ichiga oladi, integratsiya esa uzluksiz qiymatlarni oʻz ichiga oladi.

• Integratsiya umumlashtirishning maxsus shakli sifatida talqin qilinishi mumkin.

• Raqamli hisoblash usullarida integratsiya har doim yigʻindi sifatida amalga oshiriladi.