Laplas va Furye oʻzgarishlari
Laplas transformatsiyasi ham, Furye konvertatsiyasi ham integral transformatsiyalar boʻlib, ular matematik modellashtirilgan fizik tizimlarni yechishda matematik usullar sifatida eng koʻp qoʻllaniladi. Jarayon oddiy. Murakkab matematik model integral konvertatsiya yordamida oddiyroq, echiladigan modelga aylantiriladi. Oddiyroq model yechilgach, teskari integral konvertatsiya qo‘llaniladi, bu esa asl modelga yechim beradi.
Masalan, fizik tizimlarning koʻpchiligi differensial tenglamalar hosil qilganligi sababli, ularni algebraik tenglamalarga yoki integral konvertatsiya yordamida oson echiladigan differensial tenglamalarga aylantirish mumkin. Shunda muammoni hal qilish osonroq bo'ladi.
Laplas konvertatsiyasi nima?
Haqiqiy t oʻzgaruvchining f (t) funksiyasi berilgan boʻlsa, uning Laplas konvertatsiyasi [lateks] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- integrali bilan aniqlanadi. st}f(t)dt [/latex] (u mavjud bo‘lganda), bu s murakkab o‘zgaruvchining funksiyasi. Odatda L { f (t)} bilan belgilanadi. F (s) funksiyaning teskari Laplas konvertatsiyasi f (t) funksiyasi shunday qabul qilinadiki, L { f (t)}=F (s) va odatdagi matematik yozuvda Ldeb yozamiz. -1{ F (s)}=f (t). Agar null funksiyalarga ruxsat berilmasa, teskari konvertatsiya noyob bo'lishi mumkin. Bu ikkalasini funktsiya fazosida aniqlangan chiziqli operatorlar sifatida aniqlash mumkin va shuni ham ko'rish oson: L -1{ L { f (t)}}=f (t), agar null funksiyalarga ruxsat berilmasa.
Quyidagi jadvalda ba'zi eng keng tarqalgan funksiyalarning Laplas konvertatsiyalari keltirilgan.
Furye konvertatsiyasi nima?
Haqiqiy t oʻzgaruvchining f (t) funksiyasi berilgan boʻlsa, uning Laplas oʻzgarishi [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ integrali bilan aniqlanadi. pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (u mavjud bo'lganda) va odatda F { f bilan belgilanadi. (t)}. Teskari konvertatsiya F -1{ F (a)} integrali [lateks] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi bilan berilgan. }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Furye konvertatsiyasi ham chiziqli bo‘lib, uni funksiya fazosida aniqlangan operator sifatida ko‘rish mumkin.
Furye konvertatsiyasidan foydalanib, funktsiya faqat chekli sonli uzilishlarga ega va mutlaqo integrallash mumkin bo'lsa, asl funktsiyani quyidagicha yozish mumkin.
Laplas va Furye oʻzgarishlari oʻrtasidagi farq nima?
- F (t) funktsiyani Furyega aylantirish [lateks] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / kabi aniqlanadi. \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], holbuki uning laplas konvertatsiyasi [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Furye konvertatsiyasi faqat barcha haqiqiy sonlar uchun aniqlangan funksiyalar uchun aniqlanadi, Laplas konvertatsiyasi esa funktsiyani manfiy haqiqiy sonlar toʻplamida aniqlanishini talab qilmaydi.
- Furye konvertatsiyasi Laplas konvertatsiyasining alohida holatidir. Ko'rinib turibdiki, ikkalasi ham manfiy bo'lmagan haqiqiy sonlar uchun mos keladi. (ya'ni, Laplasdagi s ni ia + b bo'lishi uchun qabul qiling, bunda a va b haqiqiy bo'lib, e b=1/ √(2ᴫ))
- Furye konvertatsiyasiga ega boʻlgan har bir funksiya Laplas konvertatsiyasiga ega boʻladi, lekin aksincha emas.
