To'rtburchak va Romb
Romb va toʻrtburchaklar toʻrtburchaklardir. Bu raqamlarning geometriyasi insonga ming yillar davomida ma'lum bo'lgan. Mavzu yunon matematigi Evklid tomonidan yozilgan "Elementlar" kitobida aniq yoritilgan.
Parallelogram
Parallelogramma toʻrt tomoni boʻlgan, qarama-qarshi tomonlari bir-biriga parallel boʻlgan geometrik shakl sifatida belgilanishi mumkin. Aniqrog'i, bu ikki juft parallel tomoni bo'lgan to'rtburchak. Bu parallel tabiat parallelogrammalarga juda ko'p geometrik xususiyatlar beradi.
Quyidagi geometrik belgilar topilsa, toʻrtburchak parallelogramma hisoblanadi.
• Ikki juft qarama-qarshi tomon uzunligi teng. (AB=DC, AD=BC)
• Ikki juft qarama-qarshi burchakning oʻlchami teng. ([latex]D\shapka{A}B=B\shapka{C}D, A\shapka{D}C=A\shapka{B}C[/latex])
• Agar qoʻshni burchaklar qoʻshimcha boʻlsa [lateks]D\shapka{A}B + A\shapka{D}C=A\shapka{D}C + B\shapka{C}D=B\shapka {C}D + A\shapka{B}C=A\shapka{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Bir-biriga qarama-qarshi boʻlgan juft tomonlar parallel va uzunligi teng. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonallar bir-birini ikkiga bo'ladi (AO=OC, BO=OD)
• Har bir diagonal toʻrtburchakni ikkita mos keladigan uchburchakka ajratadi. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Bundan tashqari, tomonlar kvadratlari yig'indisi diagonallar kvadratlari yig'indisiga teng. Bu ba'zan parallelogram qonuni deb ataladi va fizika va muhandislikda keng qo'llaniladi. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Toʻrtburchak parallelogramm ekanligi aniqlangach, yuqoridagi xususiyatlarning har biri xossa sifatida ishlatilishi mumkin.
Parallelogrammaning maydonini bir tomon uzunligi va qarama-qarshi tomonning balandligi ko'paytmasi bilan hisoblash mumkin. Shuning uchun parallelogrammning maydonisifatida ifodalanishi mumkin.
Parallelogramm maydoni=asos × balandlik=AB×h
Parallelogrammaning maydoni individual parallelogramm shakliga bog'liq emas. Bu faqat poydevor uzunligi va perpendikulyar balandlikka bog'liq.
Agar parallelogrammning tomonlarini ikkita vektor bilan tasvirlash mumkin boʻlsa, maydonni ikkita qoʻshni vektorning vektor mahsuloti (koʻpaytmasi) kattaligi bilan olish mumkin.
Agar AB va AD tomonlari mos ravishda ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) va ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) vektorlari bilan ifodalangan boʻlsa, parallelogramma [latex]\left | bilan berilgan \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/lateks], bu erda a - [lateks]\overrightarrow{AB}[/latex] va [lateks]\overrightarrow{AD}[/latex] orasidagi burchak.
Quyidagilar parallelogrammaning ba'zi rivojlangan xususiyatlari;
• Parallelogrammning maydoni uchburchakning har qanday diagonallari tomonidan yaratilgan maydonning ikki barobariga teng.
• Paralelogrammaning maydoni oʻrta nuqtadan oʻtuvchi har qanday chiziq bilan yarmiga boʻlinadi.
• Har qanday degeneratsiyalanmagan afin transformatsiya parallelogrammani boshqa parallelogrammaga oladi
• Paralelogrammaning aylanish simmetriyasi 2
• Paralelogrammaning istalgan ichki nuqtasidan yon tomonlarigacha boʻlgan masofalar yigʻindisi nuqtaning joylashuviga bogʻliq emas
To'rtburchak
To'rtburchak to'g'ri burchakli to'rtburchak to'rtburchak deb nomlanadi. Bu parallelogrammning alohida holati bo'lib, unda har qanday ikki qo'shni tomon orasidagi burchaklar to'g'ri burchaklardir.
Parallelogrammaning barcha xossalariga qo'shimcha ravishda, to'rtburchak geometriyasini ko'rib chiqishda qo'shimcha xarakteristikalar tan olinishi mumkin.
• Choʻqqilardagi har bir burchak toʻgʻri burchakdir.
• Diagonallarning uzunligi teng va ular bir-birini ikkiga bo'ladi. Demak, ikkiga bo'lingan bo'limlar ham uzunligi bo'yicha teng.
• Diagonallarning uzunligini Pifagor teoremasi yordamida hisoblash mumkin:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Maydon formulasi uzunlik va kenglik mahsulotiga qisqartiriladi.
Toʻrtburchakning maydoni=uzunlik × kenglik
• Toʻgʻri toʻrtburchakda koʻplab simmetrik xususiyatlar topiladi, masalan;
– Toʻgʻri toʻrtburchak siklikdir, bunda barcha uchlari aylananing perimetri boʻylab joylashtirilishi mumkin.
– Bu teng burchakli, bu erda barcha burchaklar teng.
– izogonal boʻlib, barcha burchaklar bir xil simmetriya orbitasida joylashgan.
– U ham aks ettirish simmetriyasiga, ham aylanish simmetriyasiga ega.
Romb
Barcha tomonlari uzunligi teng boʻlgan toʻrtburchak romb deb ataladi. U teng qirrali to'rtburchak deb ham ataladi. U oʻyin kartalaridagiga oʻxshash olmos shakliga ega deb hisoblanadi.
Romb ham parallelogrammning alohida holatidir. Uni to'rt tomoni teng bo'lgan parallelogramm deb hisoblash mumkin. U parallelogramma xossalaridan tashqari quyidagi maxsus xususiyatlarga ega.
• Rombning diagonallari bir-birini toʻgʻri burchak ostida ikkiga boʻladi; diagonallar perpendikulyar.
• Diagonallar ikkita qarama-qarshi ichki burchakni ikkiga bo'ladi.
• Qoʻshni tomonlardan kamida ikkitasi uzunligi teng.
Rombning maydonini parallelogramm bilan bir xil usulda hisoblash mumkin.
Romb va to'rtburchak o'rtasidagi farq nima?
• Romb va toʻrtburchaklar toʻrtburchaklardir. To'rtburchak va romb parallelogrammning maxsus holatlaridir.
• Har qanday maydonning maydoni ×balandlik formulasi asosida hisoblanishi mumkin.
• Diagonallarni hisobga olgan holda;
– Rombning diagonallari bir-birini toʻgʻri burchak ostida ikkiga boʻladi va hosil boʻlgan uchburchaklar teng tomonli.
– Toʻrtburchakning diagonallari uzunligi boʻyicha teng va bir-birini ikkiga boʻladi; ikkiga bo'lingan kesmalar uzunligi teng. Diagonallar toʻrtburchakni ikkita mos keladigan toʻgʻri burchakli uchburchakka ajratadi.
• Ichki burchaklarni hisobga olgan holda;
– Rombning ichki burchaklari diagonallar bilan ikkiga boʻlingan
– Toʻrtburchakning barcha toʻrtta ichki burchagi toʻgʻri burchakdir.
• Yon tomonlarini hisobga olgan holda;
– Rombda toʻrt tomoni teng boʻlgani uchun tomonning toʻrt karra kvadrati diagonal kvadratlari yigʻindisiga teng (paralelogramma qonuni boʻyicha)
– Toʻrtburchaklarda qoʻshni ikki tomonning kvadratlari yigʻindisi uchlaridagi diagonal kvadratiga teng. (Pifagor qoidasi)
