Parallelogramma va toʻrtburchaklar
Parallelogramma va toʻrtburchaklar toʻrtburchaklardir. Bu raqamlarning geometriyasi insonga ming yillar davomida ma'lum bo'lgan. Mavzu yunon matematigi Evklid tomonidan yozilgan "Elementlar" kitobida aniq yoritilgan.
Parallelogram
Parallelogramma toʻrt tomoni boʻlgan, qarama-qarshi tomonlari bir-biriga parallel boʻlgan geometrik shakl sifatida belgilanishi mumkin. Aniqrog'i, bu ikki juft parallel tomoni bo'lgan to'rtburchak. Bu parallel tabiat parallelogrammalarga juda ko'p geometrik xususiyatlar beradi.
Quyidagi geometrik belgilar topilsa, toʻrtburchak parallelogramma hisoblanadi.
• Ikki juft qarama-qarshi tomon uzunligi teng. (AB=DC, AD=BC)
• Ikki juft qarama-qarshi burchakning oʻlchami teng. ([latex]D\shapka{A}B=B\shapka{C}D, A\shapka{D}C=A\shapka{B}C[/latex])
• Agar qoʻshni burchaklar qoʻshimcha boʻlsa [lateks]D\shapka{A}B + A\shapka{D}C=A\shapka{D}C + B\shapka{C}D=B\shapka {C}D + A\shapka{B}C=A\shapka{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Bir-biriga qarama-qarshi boʻlgan juft tomonlar parallel va uzunligi teng. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonallar bir-birini ikkiga bo'ladi (AO=OC, BO=OD)
• Har bir diagonal toʻrtburchakni ikkita mos keladigan uchburchakka ajratadi. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Bundan tashqari, tomonlar kvadratlari yig'indisi diagonallar kvadratlari yig'indisiga teng. Bu ba'zan parallelogram qonuni deb ataladi va fizika va muhandislikda keng qo'llaniladi. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Toʻrtburchak parallelogramm ekanligi aniqlangach, yuqoridagi xususiyatlarning har biri xossa sifatida ishlatilishi mumkin.
Parallelogrammaning maydonini bir tomon uzunligi va qarama-qarshi tomonning balandligi ko'paytmasi bilan hisoblash mumkin. Shuning uchun parallelogrammning maydonisifatida ifodalanishi mumkin.
Parallelogramm maydoni=asos × balandlik=AB×h
Parallelogrammaning maydoni individual parallelogramm shakliga bog'liq emas. Bu faqat poydevor uzunligi va perpendikulyar balandlikka bog'liq.
Agar parallelogrammning tomonlarini ikkita vektor bilan tasvirlash mumkin boʻlsa, maydonni ikkita qoʻshni vektorning vektor mahsuloti (koʻndalang mahsulot) kattaligi bilan olish mumkin.
Agar AB va AD tomonlari mos ravishda ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) va ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) vektorlari bilan ifodalangan boʻlsa, parallelogramma [latex]\left | bilan berilgan \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/lateks], bu erda a - [lateks]\overrightarrow{AB}[/latex] va [lateks]\overrightarrow{AD}[/latex] orasidagi burchak.
Quyidagilar parallelogrammaning ba'zi rivojlangan xususiyatlari;
• Parallelogrammning maydoni uchburchakning har qanday diagonallari tomonidan yaratilgan maydonning ikki barobariga teng.
• Paralelogrammaning maydoni oʻrta nuqtadan oʻtuvchi har qanday chiziq bilan yarmiga boʻlinadi.
• Har qanday degeneratsiyalanmagan afin transformatsiya parallelogrammani boshqa parallelogrammaga oladi
• Paralelogrammaning aylanish simmetriyasi 2
• Paralelogrammaning istalgan ichki nuqtasidan yon tomonlarigacha boʻlgan masofalar yigʻindisi nuqtaning joylashuviga bogʻliq emas
To'rtburchak
To'rtburchak to'g'ri burchakli to'rtburchak to'rtburchak deb nomlanadi. Bu parallelogrammning alohida holati bo'lib, unda har qanday ikki qo'shni tomon orasidagi burchaklar to'g'ri burchaklardir.
Parallelogrammaning barcha xossalariga qo'shimcha ravishda, to'rtburchak geometriyasini ko'rib chiqishda qo'shimcha xarakteristikalar tan olinishi mumkin.
• Choʻqqilardagi har bir burchak toʻgʻri burchakdir.
• Diagonallarning uzunligi teng va ular bir-birini ikkiga bo'ladi. Demak, ikkiga bo'lingan bo'limlar ham uzunligi bo'yicha teng.
• Diagonallarning uzunligini Pifagor teoremasi yordamida hisoblash mumkin:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Maydon formulasi uzunlik va kenglik mahsulotiga qisqartiriladi.
Toʻrtburchakning maydoni=uzunlik × kenglik
• Toʻgʻri toʻrtburchakda koʻplab simmetrik xususiyatlar topiladi, masalan;
– Toʻgʻri toʻrtburchak siklikdir, bunda barcha uchlari aylananing perimetri boʻylab joylashtirilishi mumkin.
– Bu teng burchakli, bu erda barcha burchaklar teng.
– izogonal boʻlib, barcha burchaklar bir xil simmetriya orbitasida joylashgan.
– U ham aks ettirish simmetriyasiga, ham aylanish simmetriyasiga ega.
Parallelogramma va toʻrtburchak oʻrtasidagi farq nima?
• Paralelogramma va toʻrtburchaklar toʻrtburchaklardir. To'rtburchak - parallelogrammlarning maxsus holati.
• Har qanday maydonning maydoni ×balandlik formulasi asosida hisoblanishi mumkin.
• Diagonallarni hisobga olgan holda;
– Paralelogrammaning diagonallari bir-birini ikkiga, parallelogrammani esa ikkiga boʻlib, ikkita mos keladigan uchburchak hosil qiladi.
– Toʻrtburchakning diagonallari uzunligi boʻyicha teng va bir-birini ikkiga boʻladi; ikkiga bo'lingan kesmalar uzunligi teng. Diagonallar toʻrtburchakni ikkita mos keladigan toʻgʻri burchakli uchburchakka ajratadi.
• Ichki burchaklarni hisobga olgan holda;
– Paralelogrammaning qarama-qarshi ichki burchaklari oʻlchamlari boʻyicha teng. Ikki qoʻshni ichki burchak qoʻshimcha
– Toʻrtburchakning barcha toʻrtta ichki burchagi toʻgʻri burchakdir.
• Yon tomonlarini hisobga olgan holda;
– Paralelogrammada tomonlar kvadratlari yigʻindisi diagonal kvadratlari yigʻindisiga teng (Parallelogramma qonuni)
– Toʻrtburchaklarda qoʻshni ikki tomonning kvadratlari yigʻindisi uchlaridagi diagonal kvadratiga teng. (Pifagor qoidasi)
