Differentsiya va hosila
Differensial hisoblashda hosila va differentsiatsiya bir-biri bilan chambarchas bog'liq, lekin juda farq qiladi va funksiyalar bilan bog'liq ikkita muhim matematik tushunchani ifodalash uchun ishlatiladi.
Hosila nima?
Funksiyaning hosilasi uning kiritilishi oʻzgarganda funksiya qiymatining oʻzgarishi tezligini oʻlchaydi. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarda funksiya qiymatining o‘zgarishi mustaqil o‘zgaruvchilar qiymatlarining o‘zgarish yo‘nalishiga bog‘liq bo‘ladi. Shuning uchun bunday hollarda ma'lum bir yo'nalish tanlanadi va funktsiya shu yo'nalishda farqlanadi. Bu hosila yo'nalishli hosila deyiladi. Qisman hosilalar yo'nalishli hosilalarning maxsus turidir.
Vektor qiymatli f funktsiyaning hosilasi chegara [lateks]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac sifatida belgilanishi mumkin {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] cheksiz mavjud boʻlgan joyda. Yuqorida aytib o'tilganidek, u vektor yo'nalishi bo'yicha f funktsiyaning ortish tezligini beradi. Bitta qiymatli funktsiyada, bu hosilaning taniqli ta'rifiga qisqartiradi, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\dan 0}\\frac{fgacha. (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Masalan, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] hamma joyda differensiallanadi va hosila chegaraga teng, [lateks]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], bu [latex]3x^{2}+4[/latex] ga teng. [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] kabi funksiyalarning hosilalari hamma joyda mavjud. Ular mos ravishda [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] funksiyalariga teng.
Bu birinchi hosila sifatida tanilgan. Odatda f funksiyaning birinchi hosilasi f (1) bilan belgilanadi. Endi bu belgidan foydalanib, yuqori tartibli hosilalarni aniqlash mumkin. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] ikkinchi tartibli yoʻnalish hosilasi boʻlib, n -chi hosilasini f (n) bilan bildiradi. Har bir n uchun , [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\dan 0}\\frac{f^{(n) -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], n th hosilasini belgilaydi.
Farqlanish nima?
Differentsiallash - bu differentsiallanuvchi funktsiyaning hosilasini topish jarayoni. D bilan belgilangan D-operator ba'zi kontekstlarda farqlashni ifodalaydi. Agar x mustaqil o'zgaruvchi bo'lsa, u holda D ≡ d/dx. D-operator chiziqli operatordir, ya'ni har qanday ikkita differentsiallanuvchi f va g funksiyasi va c doimiysi uchun quyidagi xususiyatlar saqlanadi.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
D-operatordan foydalanib, differentsiatsiya bilan bog'liq boshqa qoidalarni quyidagicha ifodalash mumkin. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2va D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Masalan, F(x)=x 2sin x berilgan qoidalar yordamida x ga nisbatan farqlansa, javob 2 x sin x + xbo'ladi. 2cos x.
Farqlash va hosila oʻrtasidagi farq nima?• Hosila funksiyaning oʻzgarish tezligini bildiradi • Differentsiallash - bu funksiyaning hosilasini topish jarayoni. |
