Hosila va differensial
Differensial hisoblashda funktsiyaning hosilasi va differentsiali bir-biri bilan chambarchas bog'liq, lekin juda boshqacha ma'noga ega va differensiallanuvchi funktsiyalar bilan bog'liq ikkita muhim matematik ob'ektni ifodalash uchun ishlatiladi.
Hosila nima?
Funksiyaning hosilasi uning kiritilishi oʻzgarganda funksiya qiymatining oʻzgarishi tezligini oʻlchaydi. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarda funksiya qiymatining o‘zgarishi mustaqil o‘zgaruvchilar qiymatlarining o‘zgarish yo‘nalishiga bog‘liq bo‘ladi. Shuning uchun bunday hollarda ma'lum bir yo'nalish tanlanadi va funktsiya shu yo'nalishda farqlanadi. Bu hosila yo'nalishli hosila deyiladi. Qisman hosilalar yo'nalishli hosilalarning maxsus turidir.
Vektor qiymatli f funktsiyaning hosilasi chegara [lateks]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac sifatida belgilanishi mumkin {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] cheksiz mavjud boʻlgan joyda. Yuqorida aytib o'tilganidek, u vektor yo'nalishi bo'yicha f funktsiyaning ortish tezligini beradi. Bitta qiymatli funktsiyada, bu hosilaning taniqli ta'rifiga qisqartiradi, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\dan 0}\\frac{fgacha. (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Masalan, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] hamma joyda differensiallanadi va hosila chegaraga teng, [lateks]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], bu [latex]3x^{2}+4[/latex] ga teng. [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] kabi funksiyalarning hosilalari hamma joyda mavjud. Ular mos ravishda [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] funksiyalariga teng.
Bu birinchi hosila sifatida tanilgan. Odatda f funksiyaning birinchi hosilasi f (1) bilan belgilanadi. Endi bu belgidan foydalanib, yuqori tartibli hosilalarni aniqlash mumkin. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] ikkinchi tartibli yoʻnalish hosilasi boʻlib, n -chi hosilasini f (n) bilan bildiradi. Har bir n uchun , [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\dan 0}\\frac{f^{(n) -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], n th hosilasini belgilaydi.
Differensial nima?
Funksiyaning differentsiali mustaqil oʻzgaruvchi yoki oʻzgaruvchilardagi oʻzgarishlarga nisbatan funksiyaning oʻzgarishini ifodalaydi. Odatiy yozuvda bitta o'zgaruvchining x berilgan f funktsiyasi uchun 1 df tartibli to'liq differentsial berilgan, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Bu shuni anglatadiki, x (ya'ni d x) ning cheksiz kichik o'zgarishi uchun f (1)(x)d x o'zgarish bo'ladi.
Cheklovlardan foydalanish quyidagi ta'rif bilan yakunlanishi mumkin. Faraz qilaylik, ∆ x ixtiyoriy x nuqtadagi x ning o'zgarishi va ∆ f f funksiyaning tegishli o'zgarishi. ∆ f=f (1)(x)∆ x + s ekanligini ko’rsatish mumkin, bu yerda s xatolik. Endi chegara ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x)) (hosilning avval koʻrsatilgan taʼrifidan foydalangan holda) va shunday qilib, ∆ x→ 0 s/ ∆ x=0. Shuning uchun degan xulosaga kelamiz, ∆ x→ 0 s=0. Endi ∆ x→ 0 ∆ f ni d f va ∆ x→ 0 ∆ x ni d x deb belgilab, differensialning ta’rifi qat’iy ravishda olinadi.
Masalan, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] funksiyaning differentsiali [latex](3x^{2}+4)dx[/lateks].
Ikki yoki undan ortiq oʻzgaruvchining funksiyalari boʻlsa, funksiyaning toʻliq differentsiali mustaqil oʻzgaruvchilarning har birining yoʻnalishidagi differentsiallar yigʻindisi sifatida aniqlanadi. Matematik jihatdan uni [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\qisman f}{\qisman x_{i}}dx_{i}[/latex] sifatida ifodalash mumkin..
Hosila va differentsial oʻrtasidagi farq nima?
• Hosila funksiyaning oʻzgarish tezligini bildiradi, differensial esa mustaqil oʻzgaruvchi oʻzgarganda funksiyaning haqiqiy oʻzgarishini bildiradi.
• Hosila [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ bilan berilgan h}[/latex], lekin farq [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex] bilan berilgan.
