Arifmetik ketma-ketlik va geometrik ketma-ketlik oʻrtasidagi farq

2024 Muallif: Alex Aldridge | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-17 23:50

Arifmetik ketma-ketlik va geometrik ketma-ketlik

Raqamlar naqshlari va ularning xatti-harakatlarini o'rganish matematika sohasidagi muhim tadqiqotdir. Ko'pincha bu naqshlarni tabiatda ko'rish mumkin va ularning xatti-harakatlarini ilmiy nuqtai nazardan tushuntirishga yordam beradi. Arifmetik ketma-ketliklar va geometrik ketma-ketliklar raqamlarda uchraydigan va ko‘pincha tabiat hodisalarida uchraydigan ikkita asosiy naqshdir.

Tartib - tartiblangan raqamlar to'plami. Ketma-ketlikdagi elementlar soni chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin.

Arifmetik ketma-ketlik (arifmetrik progressiya) haqida batafsil

Arifmetik ketma-ketlik har bir ketma-ket had oʻrtasida doimiy farqga ega boʻlgan sonlar ketma-ketligi sifatida aniqlanadi. U arifmetik progressiya deb ham ataladi.

Arifmetik ketma-ketlik ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; bu yerda a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d va hokazo.}

Agar boshlang'ich had a₁ bo'lsa va umumiy farq d bo'lsa, ketma-ketlikning n^{-chi hadi quyidagicha beriladi;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Yuqoridagi natijani davom ettirish orqali n^{th atamasi ham shunday berilishi mumkin;}

a_n =a_m + (n-m)d, bu erda a_{m tasodifiy atama ketma-ketlikda n > m.}

Juft sonlar toʻplami va toq sonlar toʻplami arifmetik ketma-ketliklarning eng oddiy misollari boʻlib, bunda har bir ketma-ketlik umumiy farq (d) 2 ga ega.

Kartlikdagi atamalar soni cheksiz yoki chekli boʻlishi mumkin. Cheksiz holatda (n → ∞) ketma-ketlik umumiy farqga qarab cheksizlikka intiladi (a_{n → ±∞). Agar umumiy farq musbat (d > 0) boʻlsa, ketma-ketlik ijobiy cheksizlikka, umumiy farq manfiy boʻlsa (d < 0) manfiy cheksizlikka intiladi. Agar shartlar chekli bo'lsa, ketma-ketlik ham chekli bo'ladi.}

Arifmetik ketma-ketlikdagi atamalar yig'indisi arifmetik qator deb nomlanadi: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{va S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] qiymatini beradi seriya (S}n)

Geometrik ketma-ketlik (geometrik progressiya) haqida batafsil

Geometrik ketma-ketlik har qanday ketma-ket ikkita hadning qismi doimiy bo'lgan ketma-ketlik sifatida aniqlanadi. Bu geometrik progressiya deb ham ataladi.

Geometrik ketma-ketlik ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; bu yerda a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r va hokazo, bu erda r haqiqiy son.}

Geometrik ketma-ketlikni umumiy nisbat (r) va boshlang’ich atama (a) yordamida ifodalash osonroq. Demak, geometrik ketma-ketlik ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

aⁿ =a₁r tomonidan berilgan n_th atamalarning umumiy shakli ^n-1. (Boshlang'ich atamaning obunasi yo'qolgan ⇒ a_n =ar^n-1)

Geometrik ketma-ketlik ham chekli yoki cheksiz boʻlishi mumkin. Agar hadlar soni chekli bo'lsa, ketma-ketlik chekli deyiladi. Va agar shartlar cheksiz bo'lsa, ketma-ketlik r nisbatiga qarab cheksiz yoki chekli bo'lishi mumkin. Umumiy nisbat geometrik ketma-ketlikdagi ko'plab xususiyatlarga ta'sir qiladi.

r > o	0 < r < +1	ketma-ketlik yaqinlashadi – eksponensial yemirilish, ya’ni an → 0, n → ∞
	r=1	Doimiy ketma-ketlik, ya'ni an=doimiy
	r > 1	Kartlik farqlanadi – eksponensial oʻsish, yaʼni an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Tartilma tebranmoqda, lekin birlashadi
	r=1	Kartlik oʻzgaruvchan va doimiy, yaʼni an=±constant
	r < -1	Kartlik navbatma-navbat va farqlanadi. ya'ni an → ±∞, n → ∞
r=0	Tartib - nollar qatori

N. B: Yuqoridagi barcha holatlarda a₁ > 0; agar a₁ < 0 boʻlsa, a_{n bilan bogʻliq belgilar teskari boʻladi.}

To'pning sakrashlari orasidagi vaqt oralig'i ideal modeldagi geometrik ketma-ketlikka amal qiladi va u konvergent ketma-ketlikdir.

Geometrik ketma-ketlik hadlari yig'indisi geometrik qator deb nomlanadi; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Geometrik qatorlar yig‘indisini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); bu erda a - boshlang'ich had va r - nisbat.}

Agar nisbat r ≤ 1 bo'lsa, qator yaqinlashadi. Cheksiz qator uchun yaqinlashish qiymati S_{n=a/(1-r) bilan beriladi.}

Arifmetik va geometrik ketma-ketlik/progressiya oʻrtasidagi farq nima?

• Arifmetik ketma-ketlikda har qanday ikkita ketma-ket hadlar umumiy farqga (d) ega, geometrik ketma-ketlikda esa har qanday ikkita ketma-ket hadlar doimiy qismga (r) ega.

• Arifmetik ketma-ketlikda hadlarning oʻzgarishi chiziqli boʻladi, yaʼni barcha nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq chizish mumkin. Geometrik qatorda oʻzgarish koʻrsatkichli; umumiy nisbat asosida oʻsadi yoki parchalanadi.

• Barcha cheksiz arifmetik ketma-ketliklar divergent, cheksiz geometrik qatorlar esa divergent yoki konvergent boʻlishi mumkin.

• Geometrik qator tebranishlarni koʻrsatishi mumkin, agar r nisbati manfiy boʻlsa, arifmetik qator tebranishni koʻrsatmasa