Giperbola va Ellips
Konus turli burchaklarda kesilganda, konusning chetida turli egri chiziqlar belgilanadi. Ushbu egri chiziqlar ko'pincha konus kesimlari deb ataladi. Aniqroq qilib aytadigan bo'lsak, konus kesimi to'g'ri aylana konusli sirtni tekis sirt bilan kesish natijasida olingan egri chiziqdir. Kesishishning turli burchaklarida turli konus kesimlari berilgan.
Giperbola ham, ellips ham konus kesimlardir va ularning farqlarini shu kontekstda solishtirish oson.
Elips haqida batafsil
Konus yuzasi va tekislik yuzasi kesishmasi yopiq egri chiziq hosil qilganda, u ellips deb ataladi. U nol va bir (0<e<1) o'rtasida ekssentriklikka ega. Uni tekislikdagi nuqtalar to'plamining joylashuvi sifatida ham aniqlash mumkin, shunda ikkita sobit nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi doimiy bo'lib qoladi. Ushbu ikkita sobit nuqta "fokuslar" deb nomlanadi. (Esingizda bo'lsin, boshlang'ich matematika darslarida ellipslar ikkita qo'zg'almas pinga bog'langan ip yoki ip halqasi va ikkita igna yordamida chiziladi.)
Fokuslardan oʻtuvchi chiziq segmenti katta oʻq, katta oʻqga perpendikulyar boʻlgan va ellips markazidan oʻtuvchi oʻq esa kichik oʻq deb ataladi. Har bir o'q bo'ylab diametrlar mos ravishda ko'ndalang diametr va konjugat diametri sifatida tanilgan. Katta o'qning yarmi yarim katta o'q, kichik o'qning yarmi esa yarim kichik o'q deb nomlanadi.
Har bir nuqta F1 va F2 ellips fokuslari va F1 uzunligi sifatida tanilgan. + PF2 =2a, bu erda P - ellipsdagi ixtiyoriy nuqta. Eksentriklik e fokusdan ixtiyoriy nuqtagacha bo'lgan masofa (PF 2) va direktrisadan (PD) ixtiyoriy nuqtaga perpendikulyar masofa o'rtasidagi nisbat sifatida aniqlanadi. Shuningdek, u ikkita fokus va yarim asosiy o'q orasidagi masofaga teng: e=PF/PD=f/a
Yarim katta o’q va yarim kichik o’q Dekart o’qlariga to’g’ri kelganda ellipsning umumiy tenglamasi quyidagicha berilgan.
x2/a2 + y2/b2=1
Elipsning geometriyasi, ayniqsa, fizikada koʻplab qoʻllanmalarga ega. Quyosh sistemasidagi sayyoralarning orbitalari bir fokus sifatida quyosh bilan elliptikdir. Antennalar va akustik qurilmalar uchun reflektorlar elliptik shaklda qilingan, chunki fokusdagi har qanday emissiya boshqa fokusga yaqinlashadi.
Giperbola haqida batafsil
Giperbola ham konus kesimidir, lekin uning uchi ochiq. Giperbola atamasi rasmda ko'rsatilgan ikkita uzilgan egri chiziqqa aytiladi. Giperbolaning qo'llari yoki shoxlari ellipsdek yopilish o'rniga cheksizgacha davom etadi.
Ikki shox orasidagi eng qisqa masofaga ega boʻlgan nuqtalar choʻqqilar deb ataladi. Cho'qqilardan o'tadigan chiziq katta o'q yoki ko'ndalang o'q deb hisoblanadi va u giperbolaning asosiy o'qlaridan biridir. Parabolaning ikkita o'chog'i ham katta o'qda yotadi. Ikki cho'qqi orasidagi chiziqning o'rta nuqtasi markaz, chiziq segmentining uzunligi esa yarim katta o'qdir. Yarim katta o'qning perpendikulyar bissektrisasi boshqa bosh o'q bo'lib, giperbolaning ikkita egri chizig'i bu o'q atrofida simmetrikdir. Parabolaning ekssentrisiteti birdan katta; e > 1.
Agar bosh oʻqlar Dekart oʻqlari bilan mos tushsa, giperbolaning umumiy tenglamasi quyidagicha boʻladi:
x2/a2 – y2/b2=1,
bu erda a - yarim asosiy o'q va b - markazdan fokusgacha bo'lgan masofa.
Uchlari x o’qiga qaragan ochiq giperbolalar sharq-g’arbiy giperbolalar deb ataladi. Xuddi shunday giperbolalarni y o'qida ham olish mumkin. Ular y o'qi giperbolalari deb nomlanadi. Bunday giperbolalar uchun tenglamako'rinishda bo'ladi.
y2/a2 – x2/b2=1
Giperbola va ellips oʻrtasidagi farq nima?
• Ellips ham, giperbola ham konus kesimlar, lekin ellips yopiq egri chiziq, giperbola esa ikkita ochiq egri chiziqdan iborat.
• Demak, ellipsning perimetri chekli, giperbolaning esa cheksiz uzunligi bor.
• Ikkalasi ham katta va kichik oʻqlari atrofida simmetrikdir, lekin direktrisaning joylashuvi har bir holatda har xil. Ellipsda u yarim katta o'qdan tashqarida, giperbolada esa yarim katta o'qda yotadi.
• Ikki konus kesimining ekssentrikliklari har xil.
0 <eElips < 1
eGiperbola > 0
• Ikki egri chiziqning umumiy tenglamasi bir xil koʻrinadi, lekin ular boshqacha.
• Katta oʻqning perpendikulyar bissektori ellipsdagi egri chiziqni kesib oʻtadi, lekin giperbolada emas.
(Rasmlar manbai: Wikipedia)
